Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng đóng vai trò quan trọng trong không gian ba chiều. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng và cách tìm điểm thuộc đường thẳng đó.
Phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng
Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng P, với d cắt P, được ký hiệu là ∆. Để tìm phương trình ∆, ta gọi Q là mặt phẳng chứa d và Qbot (P), ∆ = (P) ∩ (Q) và u_∆ là vectơ chỉ phương của ∆.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+5)/-1 = (z-3)/4. Phương trình nào dưới đây là phương trình của hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng x+3=0?
A. x=-3 B. x=-3, y=-5-t, z=-3+4t C. x=-3, y=-5+2t, z=3-t D. x=-3, y=-6-t, z=7+4t
Giải: Gọi Q là mặt phẳng chứa d và Qbot (P), ∆ = (P) ∩ (Q). Ta cần tìm A = d ∩ (P) là một điểm thuộc ∆.
Vậy A(-3,-3,-5) ∈ ∆, đối chiếu đáp án nhận D.
Ví dụ 2:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x/1 = (y-1)/1 = (z-2)/-1 và mặt phẳng (P): x+2y+z-4=0. Hình chiếu vuông góc của d trên (P) là đường thẳng có phương trình là
A. x/2 = (y+1)/1 = (z+2)/-4 B. x/3 = (y+1)/-2 = (z+2)/1 C. x/2 = (y-1)/1 = (z-2)/-4 D. x/3 = (y-1)/-2 = (z-2)/1
Dễ có ∆: x/2 = (y-1)/1 = (z-2)/-4. Chọn đáp án C.
Ví dụ 3:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x/1 = (y-1)/1 = (z-2)/-1 và ∆: x/2 = (y-1)/1 = (z-2)/-4. Biết rằng ∆ là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P). Phương trình của (P) là
A. 3x-2y+z=0 B. x+2y+z+4=0 C. x+2y+z-4=0 D. x+6y+2z-10=0
Giải: Ta có A(0,1,2) ∈ ∆ ⇒ A ∈ (P).
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và ∆, thì (Q) vuông góc với (P) ⇒ ∆: 3x-2y+z=0.
Chọn đáp án C.
Kết luận
Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng và cách tìm điểm thuộc đường thẳng đó. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp chúng ta áp dụng vào các bài toán thực tế trong không gian ba chiều.
Vui lòng xem thêm các ví dụ khác trong phần tiếp theo.
