Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Trong toán học, phương trình bậc hai là một loại phương trình có dạng ax² + bx + c = 0, với a, b, và c là các hệ số. Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Kiến thức cần nhớ
- Công thức nghiệm
Đối với phương trình có dạng ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0), chúng ta có công thức tính biệt thức ∆ như sau:
Δ = b² - 4ac
Chúng ta có thể sử dụng biệt thức Δ để giải phương trình bậc hai.
- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Đối với phương trình có dạng ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² - 4ac, chúng ta có:
-
Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x₁ = (-b + ∆)/(2a) x₂ = (-b - ∆)/(2a)
-
Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là: x₁ = x₂ = -b/(2a)
-
Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0, thì chúng ta có Δ = b² - 4ac > 0. Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Xác định số nghiệm của phương trình
Hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức Δ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 7x² - 2x + 3 = 0 b) 5x² + 210x + 2 = 0 c) 12x² + 7x + 23 = 0 d) 1,7x² - 1,2x - 2,1 = 0
Lời giải:
a) Phương trình 7x² - 2x + 3 = 0 có: a = 7, b = -2, c = 3 Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4.7.3 = 4 - 84 = -80
Vì Δ < 0, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Phương trình 5x² + 210x + 2 = 0 có: a = 5, b = 210, c = 2 Δ = b² - 4ac = 210² - 4.5.2 = 44100 - 40 = 44060
Vì Δ > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
c) Phương trình 12x² + 7x + 23 = 0 có: a = 12, b = 7, c = 23 Δ = b² - 4ac = 7² - 4.12.23 = 49 - 1104 = -1055
Vì Δ < 0, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
d) Phương trình 1,7x² - 1,2x - 2,1 = 0 có: a = 1,7, b = -1,2, c = -2,1 Δ = b² - 4ac = (-1,2)² - 4.1,7.(-2,1) = 1,44 + 14,28 = 15,72
Vì Δ > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2: Giải phương trình bằng công thức nghiệm
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:
a) 2x² - 7x + 3 = 0 b) 6x² + x + 5 = 0 c) 6x² + x - 5 = 0 d) 3x² + 5x + 2 = 0 e) y² - 8y + 16 = 0 f) 16z² + 24z + 9 = 0
Lời giải:
a) Phương trình bậc hai 2x² - 7x + 3 = 0 có: a = 2, b = -7, c = 3 Δ = b² - 4ac = (-7)² - 4.2.3 = 49 - 24 = 25
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x₁ = (-(-7) + √25)/(2.2) = (7 + 5)/4 = 3/2 x₂ = (-(-7) - √25)/(2.2) = (7 - 5)/4 = 1/2
Vậy phương trình có hai nghiệm là 3/2 và 1/2.
b) Phương trình bậc hai 6x² + x + 5 = 0 có: a = 6, b = 1, c = 5 Δ = b² - 4ac = 1² - 4.6.5 = 1 - 120 = -119
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Phương trình bậc hai 6x² + x - 5 = 0 có: a = 6, b = 1, c = -5 Δ = b² - 4ac = 1² - 4.6.(-5) = 1 + 120 = 121
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x₁ = (-(1) + √121)/(2.6) = (-1 + 11)/12 = 10/12 = 5/6 x₂ = (-(1) - √121)/(2.6) = (-1 - 11)/12 = -12/12 = -1
Vậy phương trình có hai nghiệm là 5/6 và -1.
d) Phương trình bậc hai 3x² + 5x + 2 = 0 có: a = 3, b = 5, c = 2 Δ = b² - 4ac = 5² - 4.3.2 = 25 - 24 = 1
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x₁ = (-(5) + √1)/(2.3) = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3 x₂ = (-(5) - √1)/(2.3) = (-5 - 1)/6 = -6/6 = -1
Vậy phương trình có hai nghiệm là -2/3 và -1.
e) Phương trình bậc hai y² - 8y + 16 = 0 có: a = 1, b = -8, c = 16 Δ = b² - 4ac = (-8)² - 4.1.16 = 64 - 64 = 0
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có nghiệm kép là: y = -(-8)/(2.1) = 8/2 = 4
Vậy phương trình có nghiệm kép y = 4.
f) Phương trình bậc hai 16z² + 24z + 9 = 0 có: a = 16, b = 24, c = 9 Δ = b² - 4ac = 24² - 4.16.9 = 576 - 576 = 0
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có nghiệm kép là: z = -(-24)/(2.16) = 24/32 = 3/4
Vậy phương trình có nghiệm kép z = 3/4.
Bài 3: Xác định số nghiệm của phương trình
Xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức Δ rồi tìm nghiệm của các phương trình sau:
a. 2x² - 5x + 1 = 0 b. 4x² + 4x + 1 = 0 c. 5x² - x + 2 = 0 d. -3x² + 2x + 8 = 0
Lời giải:
a. Phương trình 2x² - 5x + 1 = 0 có: a = 2, b = -5, c = 1 Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4.2.1 = 25 - 8 = 17
Δ > 0, nghĩa là phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b. Phương trình 4x² + 4x + 1 = 0 có: a = 4, b = 4, c = 1 Δ = b² - 4ac = 4² - 4.4.1 = 16 - 16 = 0
Δ = 0, nghĩa là phương trình có nghiệm kép.
c. Phương trình 5x² - x + 2 = 0 có: a = 5, b = -1, c = 2 Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4.5.2 = 1 - 40 = -39
Δ < 0, nghĩa là phương trình vô nghiệm.
d. Phương trình -3x² + 2x + 8 = 0 có: a = -3, b = 2, c = 8 Δ = b² - 4ac = 2² - 4.(-3).8 = 4 + 96 = 100
Δ > 0, nghĩa là phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: Giải phương trình bằng công thức nghiệm
Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình:
a. 2x² - 2√2x + 1 = 0 b. 2x² - (1 - 2√2)x - √2 = 0
Lời giải:
a. Phương trình 2x² - 2√2x + 1 = 0 có: a = 2, b = -2√2, c = 1 Δ = b² - 4ac = (-2√2)² - 4.2.1 = 8 - 8 = 0
Phương trình có nghiệm kép x = 1.
b. Phương trình 2x² - (1 - 2√2)x - √2 = 0 có: a = 2, b = -(1 - 2√2), c = -√2 Δ = b² - 4ac = [-(1 - 2√2)]² - 4.2(-√2) = 1 - 4√2 + 8 - 8√2 = 9 - 12√2
Δ > 0, nghĩa là phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Giải phương trình bằng đồ thị
Cho phương trình 2x² + x - 3 = 0.
a. Vẽ các đồ thị của hai hàm số y = 2x², y = -x + 3 trong cùng một mặt phẳng tọa độ. b. Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho. c. Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu b.
Lời giải:
a. Vẽ các đồ thị:
Đồ thị của hàm số y = 2x² là một đa thức bậc hai có hình dạng như một đường cong mở lên. Đồ thị của hàm số y = -x + 3 là một đường thẳng có hướng âm và cắt trục hoành tại x = 3.
b. Tìm hoành độ của các giao điểm:
Ta cần tìm các giá trị x mà đồ thị của hai hàm số cắt nhau. Điểm giao của hai đồ thị này chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Các hoành độ của các giao điểm là các giá trị x mà đồ thị y = 2x² cắt đồ thị y = -x + 3. Từ đồ thị, ta thấy các hoành độ này là -1 và 1. Giải thích:
- Khi hoành độ x = -1, ta có: 2(-1)² + (-1) - 3 = 2 - 1 - 3 = -2, nghĩa là điểm có hoành độ x = -1 nằm trên đồ thị của y = 2x².
- Khi hoành độ x = 1, ta có: 2(1)² + (1) - 3 = 2 + 1 - 3 = 0, nghĩa là điểm có hoành độ x = 1 nằm trên đồ thị của y = -x + 3.
Vậy các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho.
c. Giải phương trình bằng công thức nghiệm:
Phương trình 2x² + x - 3 = 0 có: a = 2, b = 1, c = -3 Δ = b² - 4ac = 1² - 4.2.(-3) = 1 + 24 = 25
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x₁ = (-1 + √25)/(2.2) = (1 + 5)/4 = 6/4 = 3/2 x₂ = (-1 - √25)/(2.2) = (1 - 5)/4 = -4/4 = -1
Vậy phương trình có hai nghiệm là 3/2 và -1.
Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về công thức nghiệm của phương trình bậc hai và áp dụng nó để giải các bài tập tự luyện. Chúng ta cũng đã làm quen với việc giải phương trình bằng đồ thị và so sánh kết quả với việc giải bằng công thức nghiệm. Hy vọng thông qua bài viết này, bạn có thể nắm rõ hơn về cách giải phương trình bậc hai và có thêm kiến thức cho môn toán của mình.
