Bài tập Java - Tìm ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của 2 số

Đề bài

Viết chương trình tìm ước số chung lớn nhất (USCLN) và bội số chung nhỏ nhất (BSCNN) của 2 số nguyên dương a và b nhập từ bàn phím.

Định nghĩa

USCLN của 2 số nguyên dương a và b là một số k lớn nhất, sao cho a và b đều chia hết cho k.

BSCNN của 2 số nguyên dương a và b là một số h nhỏ nhất, sao cho h chia hết cho cả a và b.

Lời giải

Một phương pháp đơn giản để tìm USCLN của a và b là duyệt từ số nhỏ hơn trong 2 số a và b cho đến 1. Khi gặp số nào đó mà cả a và b đều chia hết cho nó, thì đó chính là USCLN của a và b. Tuy vậy, phương pháp này chưa phải là hiệu quả nhất.

Vào thế kỷ 3 TCN, nhà toán học Euclid (phiên âm tiếng Việt là Ơ-clit) đã phát minh ra một giải thuật tìm USCLN của hai số nguyên dương rất hiệu quả được gọi là giải thuật Euclid. Cụ thể về ý tưởng của bài toán, giả sử a lớn hơn b, khi đó việc tính USCLN của a và b sẽ được đưa về bài toán tính USCLN của a mod b và b, vì USCLN(a, b) = USCLN(a mod b, b).

Khi đã tìm được USCLN, thì việc tìm BSCNN của hai số nguyên dương a và b khá đơn giản. Khi đó BSCNN(a, b) = (a * b) / USCLN(a, b).

1. Tìm USCLN và BSCNN của 2 số nguyên dương trong Java bằng giải thuật Euclid

Ví dụ dưới đây sử dụng giải thuật Euclid để giải quyết bài toán tìm ước số chung lớn nhất (USCLN) và bội số chung nhỏ nhất (BSCNN) của hai số nguyên dương a và b.

public class BaiTap5 {
    public static void main(String[] args) {
        int a = 15;
        int b = 20;

        int uscln = uscln(a, b);
        int bscnn = (a * b) / uscln;

        System.out.println("USCLN của " + a + " và " + b + " là: " + uscln);
        System.out.println("BSCNN của " + a + " và " + b + " là: " + bscnn);
    }

    public static int uscln(int a, int b) {
        while (a != b) {
            if (a > b) {
                a -= b;
            } else {
                b -= a;
            }
        }
        return a;
    }
}

Kết quả:

USCLN của 15 và 20 là: 5
BSCNN của 15 và 20 là: 60

2. Tìm USCLN và BSCNN của 2 số nguyên dương trong Java bằng cách khác

Kết quả:

USCLN của 15 và 20 là: 5
BSCNN của 15 và 20 là: 60

Giải thích hoạt động của chương trình trên: Trong chương trình này, tôi nhập vào hai số 15 và 20. Sau đó, chương trình sẽ thực thi hàm uscln() với các bước như sau:

1. Gán giá trị biến temp1 = 15 và temp2 = 20.
2. Kiểm tra điều kiện bên trong vòng lặp while: Vì 15 != 20, nên sẽ thực thi lệnh bên trong while. Lúc này, 15 < 20, nên lệnh bên trong else sẽ được thực thi và lúc này biến temp2 = 5.
3. Quay lại bước 2, kiểm tra điều kiện bên trong vòng lặp while: Vì 15 != 5, nên sẽ thực thi lệnh bên trong while. Lúc này, 15 > 5, nên lệnh bên trong if sẽ được thực thi và lúc này biến temp1 = 10.
4. Quay lại bước 2, kiểm tra điều kiện bên trong vòng lặp while: Vì 10 != 5, nên sẽ thực thi lệnh bên trong while. Lúc này, 10 > 5, nên lệnh bên trong if sẽ được thực thi và lúc này biến temp1 = 5.
5. Quay lại bước 2, kiểm tra điều kiện bên trong vòng lặp while: Vì 5 == 5, nên sẽ không thực thi lệnh bên trong while. Vòng lặp kết thúc, và chương trình trả về giá trị uscln = 5.