Bài toán Basel là một bài toán toán học đã được giải quyết sau một thời gian dài và được các nhà toán học Basel quan tâm đầu tiên. Nó là câu hỏi về tổng của các số bình phương nghịch đảo, tức là giá trị của chuỗi ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯. Bài toán đã được giải quyết bởi Leonhard Euler vào năm 1735, khi ông tìm thấy giá trị của chuỗi này là π 2 6 = 1.64493 40668 48226... Bài toán Basel cũng tương đương với việc tìm giá trị ζ ( 2 ) của hàm Riemann ζ tại vị trí 2, mà được định nghĩa bởi chuỗi vô hạn đã cho.
Những cách giải khác nhau
Cách giải đầu tiên của Euler
Lời giải ban đầu của Euler đã sử dụng chuỗi Maclaurin của hàm sin, đó là si ( x ) = sin ( x ) x = 1 − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + ..., với x được chọn là 1. Euler đã so sánh chuỗi này với phát triển thành tích của nó: sin ( x ) x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 n 2 ) = ( 1 − x 2 π 2 ) ( 1 − x 2 4 π 2 ) ( 1 − x 2 9 π 2 ) ... Bằng cách triển khai vô hạn sản phẩm này, Euler chỉ xem xét các sản phẩm có chứa các hạng đa thức bậc hai (1/x^2) và số 1. Vì không có cách nào khác để một thuật ngữ chứa một hạng đa thức bậc hai, hai thuật ngữ bậc hai phải bằng nhau, nghĩa là:
− x 2 ( 1 π 2 + 1 2 2 π 2 + 1 3 2 π 2 + 1 4 2 π 2 + ⋯ ) = − x 2 3 ! = − x 2 6. Từ đó, Euler suy ra lời giải của mình: 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ = π 2 6.
Cách giải hình học
Lời giải này sử dụng Định lý Thales, định lý góc tròn, định lý nghịch của Pythagoras và định lý bình phương khoảng cách. Bằng cách lặp lại quá trình này với các đoạn cách nhau gấp đôi và các vòng ngoài, ta sẽ tìm ra giá trị của chuỗi ban đầu là h = 1 1 2 + 1 3 2 + 1 5 2 + .... Nếu chúng ta tắt các đèn nằm bên trái của thuyền, tức là chỉ để lại đèn nằm ở vị trí 1, 3, 5, ..., thì giá trị sẽ giảm xuống còn π 2 8. Tổng cộng, ta có: 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ... = π 2 6 = π 2 8 + 1 1 2 + 1 3 2 + 1 5 2 + ...
Có nhiều cách khác nhau để giải quyết bài toán Basel, nhưng những phương pháp này đều dẫn đến cùng một kết quả đáng kinh ngạc là π 2 6.
