Dạng bài toán "có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m" để hàm số đơn điệu là một bài toán ít gặp trong chương trình toán lớp 12. Tuy nhiên, nó lại đòi hỏi nhiều bước giải chi tiết và thường được khai thác trong các đề thi trắc nghiệm. Trong bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước.
Phương pháp giải
Gặp dạng toán này, chúng ta giải tương tự như các bài toán tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng. Tuy nhiên, sau khi có kết quả chúng ta cần phải đếm số giá trị nguyên của m. Do đó, các bước giải bài tập cần được trình bày chính xác.
- Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.
- Bước 2: Xét dấu của m khi đạo hàm âm hoặc dương (nghịch biến hay đồng biến).
- Bước 3: Giải bất phương trình chứa tham số m.
- Bước 4: Đếm số giá trị nguyên của tham số m.
Ví dụ
Hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn phương pháp giải của bài toán này.
Câu 1: Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m^2 - 1) x^3 + (m - 1) x^2 - x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Lời giải
Chọn C
TH1: m = 1.
Ta có: y = -x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1.
TH2: m = -1.
Ta có: y = -2x^2 - x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1.
TH3: m ≠ ±1.
Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ. Dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ.
⇔ 3(m^2 - 1) x^2 + 2(m - 1) x - 1 ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ
Vì m ∊ ℤ nên m = 0
Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.
Câu 2: Cho hàm số y = -x^3 - mx^2 + (4m + 9) x + 5, với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)
A. 5
B. 4
C. 6
D. 7
Lời giải
Chọn D
Ta có:
y' = -3x^2 - 2mx + 4m + 9
Hàm số nghịch biến trên (-∞; +∞) khi y' ≤ 0, ∀ x ∊ (-∞; +∞)
⇔ m ∊ [-9; -3]
Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Câu 3: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ⅓(m^2 - m) x^3 + 2mx^2 + 3x - 2 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?
A. 4
B. 5
C. 3
D. 0
Lời giải
Chọn A
y' = (m^2 - m) x^2 + 4mx + 3
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y' ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
+) Với m = 0
Ta có y' = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)
+) Với m = 1
Ta có y' = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.
- Với
Ta có y' ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ -3 ≤ m < 0
Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0
Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2: -1; 0}
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.
Câu 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số trên y = ⅓mx^3 - 2mx^2 + (3m + 5) x đồng biến trên ℝ.
A. 4
B. 2
C. 5
D. 6
Lời giải
Chọn D
Ta có y' = mx^2 - 4mx + 3m + 5
Với a = 0 ⇔ m = 0 ⇒ y' = 5 > 0.
Vậy hàm số đồng biến trên ℝ.
Với a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.
Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y' ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {0; 1; 2; 3; 4; 5}
Câu 5: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = ⅓x^3 + mx^2 + 4x - m đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).
A. [-2; 2]
B. (-∞; 2)
C. (-∞; -2]
D. [2; +∞)
Lời giải
Chọn A
Ta có: y' = x^2 + 2mx + 4
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) khi và chỉ khi y' ≥ 0, ∀ x ∊ (-∞; +∞).
⇔ ∆ = m^2 - 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2.
Tài liệu tham khảo
- Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số - Thầy Hoàng Xuân Nhàn - 52 trang
- Các dạng toán về hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến - Thầy Nguyễn Bảo Vương - 59 trang
- Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan - Thầy Phùng Hoàng Em - 17 trang
- Bài tập trắc nghiệm VDC tính đơn điệu của hàm số - 34 trang
- Bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m - VerbaLearn - 28 trang
- Bài toán vận dụng cao về tính đơn điệu của hàm số - Thầy Nguyễn Công Định - 126 trang
