Những khái niệm quan trọng về cực đại và cực tiểu cùng với điều kiện để hàm số có cực trị được trình bày trong bài học này.
A: Lý thuyết cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x ∈ (a ; b).
1, Định nghĩa về cực trị của hàm số
Chú ý: a) Cần phân biệt các khái niệm sau:
- Điểm cực trị X0 của hàm số.
- Giá trị cực trị của hàm số.
- Các điểm cực trị (x0;y0) của đồ thị hàm số.
b) Nếu y=f(x) mà có đạo hàm trên (a;b) và đạt cực trị tại x0∈(a;b) thì f′(x0)=0
2, Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số không xác định.
3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Phương pháp làm bài: Có thể tìm cực trị của hàm số bằng một trong hai quy tắc sau:
Quy tắc 1: (được suy ra từ định lý 1)
- Bước 1: Tìm tập xác định( TXD) của hàm số.
- Bước 2: Tính f′(x) tìm các điểm tại đó mà f′(x)=0 hoặc không xác định.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận.
- Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó chính là điểm cực tiểu của hàm số.
- Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó chính là điểm cực đại của hàm số.
Quy tắc 2: (được suy ra từ định lý 2)
- Bước 1: Tìm tập xác định (TXD) của hàm số.
- Bước 2: Tính f′(x), giải phương trình f′(x)=0 và kí hiệu X1,…,Xn chính là các nghiệm của nó.
- Bước 3: Tính f”(x) và f”(xi).
- Bước 4: Dựa vào dấu của f”(xi) từ đó suy ra các điểm cực đại và cực tiểu:
- Tại các điểm xi mà f”(xi)>0 thì đó chính là điểm cực tiểu của hàm số.
- Tại các điểm xi mà f”(xi)<0 thì đó chính là điểm cực đại của hàm số.
B: Trả lời câu hỏi và giải bài tập trong SGK Toán 12 bài 2
Trả lời câu hỏi 1 trang 13 SGK Giải tích 12 tập 1:
Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất):
a)
Phương pháp giải bài: Quan sát đồ thị của hàm số trên và xét trong từng khoảng, tìm những điểm cao nhất (ứng với giá trị lớn nhất) và những điểm thấp nhất (ứng với giá trị nhỏ nhất).
Lời giải chi tiết: Từ đồ thị của hàm số ta thấy, tại điểm x=0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.
Xét dấu đạo hàm trên bảng biến thiên:
b)
Lời giải chi tiết: Từ đồ thị của hàm số ta thấy:
- Tại điểm x=1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 43.
- Tại điểm x=3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.
Xét dấu đạo hàm trên bảng biến thiên:
Trả lời câu hỏi 2 trang 14 SGK Giải tích 12 tập 1:
Đề bài:
Lời giải chi tiết:
Trả lời câu a:
Phương pháp giải: Quan sát đồ thị, tìm các điểm cực trị (cực đại: là điểm mà tại đó hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến, cực tiểu: là điểm mà tại đó hàm số chuyển từ nghịch biến sang đồng biến).
Lời giải chi tiết:
Trả lời câu b:
Lời giải chi tiết: Nếu hàm số có các điểm cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.
Trả lời câu hỏi 4 trang 16 SGK Giải tích 12 tập 1
Đề bài: Hãy chứng minh hàm số y=|x| không có đạo hàm tại điểm x=0. Và hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không?
Phương pháp giải bài:
- Tính y′
- Chứng tỏ rằng phương trình y′=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt, với mọi m
- Từ đó suy ra dấu của y′ và sự tồn tại của điểm cực đại cực tiểu.
Lời giải chi tiết: Tập xác định của hàm số là: D=R.
Trả lời câu hỏi 5 trang 16 SGK Giải tích 12 tập 1:
Đề bài:
a) Sử dụng đồ thị, hãy xét các hàm số sau đây có cực trị hay không
b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại của cực trị và dấu của đạo hàm.
Trả lời câu a:
Phương pháp giải: Quy tắc II tìm các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết: Tập xác định của hàm số: D=R.
Trả lời câu b:
Lời giải chi tiết: Nếu hàm số có các điểm cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.
Trả lời câu hỏi 4 trang 16 SGK Giải tích 12 tập 1
Đề bài: Hãy chứng minh hàm số y=|x| không có đạo hàm tại điểm x=0. Và hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không?
Phương pháp giải bài:
- Tính y′
- Chứng tỏ rằng phương trình y′=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt, với mọi m
- Từ đó suy ra dấu của y′ và sự tồn tại của điểm cực đại cực tiểu.
Lời giải chi tiết: Tập xác định của hàm số là: D=R.
Trả lời câu hỏi 5 trang 16 SGK Giải tích 12 tập 1:
Đề bài:
a) Sử dụng đồ thị, hãy xét các hàm số sau đây có cực trị hay không
b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại của cực trị và dấu của đạo hàm.
Trả lời câu a:
Phương pháp giải: Quy tắc II tìm các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết: Tập xác định của hàm số: D=R.
Trả lời câu b:
Lời giải chi tiết: Nếu hàm số có các điểm cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.
Giải bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12 tập 1:
a) Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau đây:
Phương pháp giải: Quy tắc I tìm điểm cực trị của hàm số:
- Bước 1: Tìm tập xác định (TXD) của hàm số.
- Bước 2: Tính f′(x). Tìm các điểm mà tại đó f′(x) = 0 hoặc f′(x) không xác định.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Lời giải chi tiết: Tập xác định của hàm số: D=R.
Bước 2:
Lập bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=−3 và giá trị cực đại là y=71. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=2 và giá trị cực tiểu là y=−54.
b)
Lập bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0 và giá trị cực tiểu là y=−3.
c)
Lập bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=−1 và giá trị cực đại là y=−2. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1 và giá trị cực tiểu là y=2.
d)
Lập bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=35 và y=1083125. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1 và y=0.
e)
Lập bảng biến thiên:
Giải bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12 tập 1:
a)
Phương pháp giải: Quy tắc II tìm các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết: Tập xác định của hàm số: D=R.
b)
Phương pháp giải: Quy tắc II tìm các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết: Tập xác định của hàm số: D=R.
c)
Phương pháp giải: Quy tắc II tìm các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết: Tập xác định của hàm số: D=R.
d)
Phương pháp giải: Quy tắc II tìm các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết: Tập xác định của hàm số: D=R.
Giải bài 3 trang 18 SGK Giải tích 12 tập 1:
Đề bài: Phương pháp giải bài:
Lời giải chi tiết:
