Hầu hết chúng ta đã được học về đạo hàm trong môn Toán. Tuy nhiên, bạn có biết về một khái niệm đặc biệt của đạo hàm gọi là "đạo hàm trị tuyệt đối" không? Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá công thức đạo hàm trị tuyệt đối và cách tính nhanh những công thức liên quan.
Đạo hàm là gì?
Đạo hàm là giới hạn của tỉ số giữa gia tăng của hàm số y = f(x) và gia tăng của đối số tại điểm x0, khi đối số tiến dần về 0. Đạo hàm thường được ký hiệu là y'(x0) hoặc f'(x0).
Đạo hàm trị tuyệt đối là gì?
Đạo hàm trị tuyệt đối là việc sử dụng công thức đạo hàm theo định nghĩa với hàm số có dạng y = |x|. Khi tính đạo hàm trị tuyệt đối của x, chúng ta sẽ áp dụng công thức sau:
y' = lim(Delta x → 0) [(|x + Delta x| - |x|) / Delta x] (1)
Dựa trên công thức đạo hàm (1), ta có thể thấy rằng đạo hàm của hàm số y = |x| là:
y' = x / |x|
Công thức hỗ trợ tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối
Để tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối, chúng ta có thể sử dụng một số công thức tính đạo hàm nhanh sau:
-
Công thức tính nhanh hàm số phân thức bậc nhất:
f(x) = (ax + b) / (cx + d) ⇒ f'(x) = (ad - bc) / (cx + d)^2
-
Công thức tính nhanh hàm số phân thức bậc 2:
f(x) = (ax^2 + bx + c) / (mx + n) ⇒ f'(x) = (amx^2 + 2anx + bn - cm) / (mx + n)^2
-
Công thức tính nhanh hàm số đa thức bậc ba:
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ⇒ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
-
Công thức tính nhanh hàm số trùng phương:
f(x) = ax^4 + bx^2 + c ⇒ f'(x) = 4ax^3 + 2bx
-
Công thức tính nhanh hàm số chứa căn bậc hai:
f(x) = sqrt(u(x)) ⇒ f'(x) = u'(x) / (2sqrt(u(x)))
-
Công thức tính nhanh hàm số chứa trị tuyệt đối:
f(x) = |u(x)| ⇒ f'(x) = u'(x) * u(x) / |u(x)|
Bài tập luyện tập đạo hàm trị tuyệt đối
Hãy tính đạo hàm của các hàm số sau:
- y = f(x) = |x|
- y = f(x) = |x^2 - 3x + 2|
Hướng dẫn giải:
-
Ta có: y = x khi x ≥ 0 và y = -x khi x < 0 Do đó: y' = 1 khi x ≥ 0 và y' = -1 khi x < 0 Xét giá trị khi x = 0 f'(0+) = lim(x → 0+) 1 = 1 f'(0-) = lim(x → 0-) 1 = 1 Ta có f'(0+) ≠ f'(0-) ⇒ Hàm số không tồn tại đạo hàm tại x = 0 Kết luận: y' = 1 khi x ≥ 0 và y' = -1 khi x < 0 và hàm số không tồn tại đạo hàm tại điểm x = 0
-
Tập xác định của hàm số: D = R Ta xét dấu của hàm số f(x) = x^2 - 3x + 2 Ta có: f(x) = x^2 - 3x + 2 khi x ≤ 1 hoặc x ≥ 2 f(x) = -x^2 + 3x - 2 khi 1 < x < 2 Ta xét y' tại các điểm tiếp giáp của các khoảng: Tại x = 1 f'(1+) = lim(x → 1+) (-2x + 3) = 1 f'(1-) = lim(x → 1-) (2x - 3) = -1 f'(1+) ≠ f'(1-) ⇒ Hàm số không có đạo hàm tại x = 1 Tại x = 2 f'(2+) = lim(x → 2+) (2x - 3) = 1 f'(2-) = lim(x → 2-) (-2x + 3) = -1 f'(2+) ≠ f'(2-) ⇒ Hàm số không có đạo hàm tại x = 2 Kết luận: f'(x) = 2x - 3 khi x ≤ 1 hoặc x ≥ 2 và f'(x) = -2x + 3 khi 1 < x < 2 và hàm số f(x) = x^2 - 3x + 2 không tồn tại đạo hàm tại x = 1
Trên đây là toàn bộ kiến thức về đạo hàm trị tuyệt đối trong chương trình Toán 12. Các công thức và bài tập minh họa đã được trình bày để giúp bạn hiểu rõ và áp dụng chúng trong quá trình học và ôn thi. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp bạn nắm chắc kiến thức về đạo hàm trị tuyệt đối và đạt kết quả tốt trong các kì thi sắp tới.
