Tính tổng của dãy số tự nhiên theo quy luật là một phần tính toán quan trọng trong chủ đề "Dãy quy luật". Chúng ta hãy cùng ôn lại và luyện tập thêm các dạng bài tập liên quan qua bài giảng dưới đây.
I/ Tổng hợp kiến thức.
1. Điều kiện để tính tổng dãy số tự nhiên
Để tính tổng của một dãy số, điều kiện là dãy số đó phải có nhiều số tự nhiên. Dãy số không nhất thiết phải toàn bộ là số dương hoặc số âm, có thể bao gồm cả hai và phải thỏa mãn là dãy số cách đều.
2. Phương pháp giải bài toán tính tổng dãy số tự nhiên
Để giải bài toán này, chúng ta cần làm theo các bước sau:
Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy
Cách tính số số hạng như sau:
Số số hạng = (Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1
Bước 2: Tính tổng của dãy
Cách tính tổng của dãy số như sau:
Tổng của dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2
2 bước trên chính là cách tính dãy số cách đều. Chúng ta có thể áp dụng trực tiếp với các dạng bài liên quan tới tính tổng dãy số tự nhiên.
Ví dụ 1: Cho một dãy số cách đều: 1; 3; 5; 7; 9; …; 2017. Hãy tìm số số hạng.
Số đầu là: 1 Số cuối là: 2017 Khoảng cách giữa 2 số hạng trong dãy số cách đều: 2 Số số hạng = (2017 - 1) : 2 + 1 = 1009
Thầy Mẫn nhắc lại kiến thức quan trọng về tính tổng dãy số theo quy luật
Ví dụ 2: Cho một dãy số cách đều: 0; 3; 6; 9; … Hãy tìm số hạng thứ 51.
Số đầu là: 0 Khoảng cách giữa 2 số hạng trong dãy số cách đều: 3 Số hạng thứ 51 = (51 - 1) x 3 + 0 = 150
II/ Các dạng bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; 13; …
a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy. b) Trong các số 2016; 2017; 2018, số nào thuộc dãy? Là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
Hướng dẫn giải:
a)
- Số đầu là: 1
- Khoảng cách giữa hai số hạng trong dãy số cách đều: 3
- Số hạng thứ 100 = (100 - 1) x 3 + 1 = 298
b) Vì khoảng cách giữa các số hạng là 3, số hạng đầu tiên là 1 => Các số đều là chia 3 dư 1. Xét ba số: 2016; 2017; 2018 xem số nào có đặc điểm tương tự (Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3).
- 2016: Có tổng các chữ số là 9, nên chia hết cho 3.
- 2017: Có tổng các chữ số là 10, chia 3 dư 1.
- 2018: Có tổng các chữ số là 11, chia 3 dư 2. Vậy, 2017 là số thuộc dãy, và là số hạng thứ: (2017 - 1) : 3 + 1 = 673
Bài tập 2:
a) Cho dãy số: 1; 6, 11; 16; …; 256. Dãy này có bao nhiêu số hạng? b) Số hạng thứ 18 của dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; … là số bao nhiêu? c) Số hạng thứ 26 của dãy số: 1; 5; 9; 13; 17; … là số bao nhiêu? d) Số hạng thứ 25 của dãy số: 2; 5; 8; … là số bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
a) Số số hạng = (256 - 1) : 5 + 1 = 52 b) Số hạng thứ 18 = (18 - 1) x 2 + 2 = 36 c) Số hạng thứ 26 = (26 - 1) x 4 + 1 = 101 d) Số hạng thứ 25 = (25 - 1) x 3 + 2 = 74
Bài tập 3: Chia dãy nhóm số tự nhiên sau: (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), …
a) Tìm số hạng đầu tiên của nhóm thứ 50. b) Tính tổng các số thuộc nhóm thứ 50. c) Tính tổng các số thuộc 50 nhóm đầu tiên.
Hướng dẫn giải:
a) Nhận xét:
- Nhóm 1 có 1 số hạng.
- Nhóm 2 có 2 số hạng.
- Nhóm 3 có 3 số hạng. => Nhóm thứ n có n số hạng.
Nhóm 1: (1) - Nhóm 2: (2; 3) Nhóm 3: (4; 5; 6) Nhóm n: 1 + 2 + 3 + .. + (n - 1)
Số hạng đầu tiên của nhóm thứ 50 = 50 x 49 : 2 + 1 = 1226.
b) Nhóm 50: (1226; 1227, …,) Số thứ 50 của nhóm 50 = (50 - 1) x 1 + 1226 = 1275 Tổng các số thuộc nhóm 50 = (1226 + 1275) x 50 : 2 = 62525
c) Tổng các số thuộc 50 nhóm đầu tiên: 1 + 2 + 3 + … + 1275 = (1275 + 1) x 1275 : 2 = 813450
Một số dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao trong bài học
Bài tập 4: Tính tổng sau
a) 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + … + 99 x 100 b) 1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + … + 99 x 101
Hướng dẫn giải:
a) Gọi A là tổng của phép tính đầu tiên. Đặt phép tính với hiệu của số phía sau của 100 trừ đi số phía trước của 99. Khoảng cách giữa các số là 1 đơn vị. 101 - 98 = 3
Đặt phép tính (A x 3) = (1 x 2 x 3) + (2 x 3 x 3) + (3 x 3 x 4) + … + (99 x 101 x 3) = (1 x 2 x 3) + 2 x 3 x (4 - 1) + 3 x 4 x (5 - 2) x … x 99 x 100 x (101 - 98) = 99 x 100 x 101 = 999900
Vậy A = 999900 : 3 = 333300
b) Đặt phép tính với hiệu của số phía sau 101 và phía trước của 99. Khoảng cách giữa các số là 2 đơn vị. 103 - 97 = 6
Đặt phép tính (B x 6) = 1 x 3 x 6 + 3 x 5 x (7 - 1) + … + 99 x 101 x (103 - 97) = 1 x 3 x 6 - 1 x 3 x 5 + 99 x 101 x 103 = 1029900
Vậy B = 1029900 : 6 = 171650
Bài giảng "Tính tổng của dãy số tự nhiên theo quy luật" của thầy Bùi Minh Mẫn (HOCMAI) gồm 6 dạng bài tập kèm theo với mức độ khó tăng dần. Nếu như dạng 1 vẫn chỉ là ghép công thức với mức độ thông hiểu, thì sang đến dạng 3, bài tập đã phức tạp và đòi hỏi học sinh cần phải biết tưởng tượng và vận dụng tư duy mới có thể hoàn thành. Những bài tập nâng cao là điều cần thiết đối với những học sinh chuẩn bị thi tuyển sinh vào các trường THCS hàng đầu.
Trong thời điểm hiện tại, khi học sinh vẫn được nghỉ học tại nhà, chúng ta nên luyện tập càng nhiều các bài tập với mức độ khó cao. Điều này sẽ rèn cho học sinh phản xạ nhanh và học được cách tư duy khi đối diện với một bài tập phức tạp. Hãy ôn luyện an toàn tại nhà với HM6 - Toàn Diện của HOCMAI - Hệ thống giáo dục trực tuyến với hơn 13 năm kinh nghiệm ôn luyện thi. Với phương pháp giáo dục chất lượng, học sinh hoàn toàn tiếp thu kiến thức hiệu quả ở nhà.
