Bài viết này sẽ giới thiệu đến bạn đọc về lý thuyết và hạng của ma trận, kèm theo các ví dụ và phân loại các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao về hạng của ma trận. Hạng của ma trận là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Tìm hiểu về hạng của ma trận

Định nghĩa hạng của ma trận: Xét ma trận A có kích thước m x n. Hạng của ma trận A là số lượng vectơ độc lập tuyến tính trong hệ vectơ hàng của A và cũng chính là số lượng vectơ độc lập tuyến tính trong hệ vectơ cột của A. Được kí hiệu là r(A).

Xem thêm:

Một số bài tập mẫu xuất hiện trong đề thi tin học trẻ tiểu học Scratch

Định thức con của ma trận và mối quan hệ với hạng của ma trận: Định thức con cấp s của ma trận là định thức của một ma trận vuông cấp s được lấy từ ma trận A. Định thức con cấp s của ma trận A được kí hiệu là Dij. Một ma trận cấp m x n có tổng số định thức con cấp s là C(m,s) * C(n,s).

Tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp: Phép biến đổi sơ cấp là phép biến đổi ma trận bằng cách thêm (hoặc trừ) một hàng (hoặc cột) của ma trận cho một hàng (hoặc cột) khác nhân với một số hợp lệ. Ta có thể tìm hạng của ma trận bằng cách biến đổi ma trận về dạng hình thang.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức bao quanh: Phương pháp này dựa trên tính chất của định thức con cấp s. Ta chỉ ra một định thức con cấp s của ma trận khác 0, sau đó tính tất cả các định thức con cấp s + 1 bao quanh định thức con cấp s. Nếu tất cả các định thức con cấp s + 1 này bằng 0 thì hạng của ma trận bằng s, ngược lại nếu có một định thức con cấp s + 1 khác 0, ta tiếp tục tính tất cả các định thức con cấp s + 2 bao quanh định thức con cấp s + 1...

Ví dụ và bài tập áp dụng

1. Tìm hạng của ma trận cho trước

Để tìm hạng của ma trận cho trước ta có thể sử dụng phép biến đổi Gauss hoặc sử dụng định thức bao quanh (định thức con chính cấp k của ma trận). Cùng xem các ví dụ sau:

Câu 1: Tìm hạng của ma trận A = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -4 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ .

Giải: Ta có: $\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 5 & -3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 & -7 & 5 \\ 0 & 3 & -2 & -4 & 0 \end{bmatrix} \end{align*}$

Vậy $r(A) = 3$ .

Câu 2: Cho x, y, z là ba nghiệm của phương trình $t^3 - 2019t + 4 = 0$ , tìm hạng của ma trận A = $\begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix}$ .

Giải: Theo vi - ét có x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0, xyz = -4 và $\text{det}(A) = \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow \text{det}(A) = 0$ .

Do đó $r(A) \leq 2$ .

Mặt khác $D_{12}^{12} = xz - y^2 \Rightarrow yD_{12}^{12} = xyz - y^3 = -4 - y^3 = -2019y \Rightarrow D_{12}^{12} = -2019 \neq 0$ .

Vậy $r(A) \geq 2 \Rightarrow r(A) = 2$ .

Câu 3: Tìm hạng của ma trận A = $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & \ldots & n + 1 \\ 3 & 4 & 5 & \ldots & n + 2 \\ 4 & 5 & 6 & \ldots & n + 3 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ n + 1 & n + 2 & n + 3 & \ldots & 2n \end{bmatrix}$ .

Giải: Ta có biến đổi ma trận: $\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & \ldots & n + 1 \\ 3 & 4 & 5 & \ldots & n + 2 \\ 4 & 5 & 6 & \ldots & n + 3 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ n + 1 & n + 2 & n + 3 & \ldots & 2n \end{bmatrix}\end{align*} \end{align*}$ $\begin{align*} &\leadsto \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & \ldots & n + 1 \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{bmatrix} \\ &\leadsto \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & \ldots & n + 1 \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{bmatrix}\end{align*}$ Vậy $r(A) = 2$ .

Câu 4: Tìm hạng của ma trận A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 8 \\ 1 & 7 & 6 & 9 \\ 0 & 10 & 1 & 10 \end{bmatrix}$ .

Giải: Ta có: $\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 8 \\ 1 & 7 & 6 & 9 \\ 0 & 10 & 1 & 10 \end{bmatrix} \end{align*} \end{align*}$

Vậy $r(A) = 4$ .

Câu 5: Tìm hạng của ma trận A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & \ldots & n -1 & n \\ 2 & 3 & \ldots & n & n+1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ n -1 & n & \ldots & 2n-2 & 2n \end{bmatrix}$ .

Giải: Ta có biến đổi ma trận: $\begin{align*} A & \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & \ldots & n-1 & n \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{bmatrix} \\ & \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & \ldots & n-1 & n \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{bmatrix} \end{align*} \end{align*}$

Vậy $r(A) = 2$ .

Câu 6: Tìm hạng của ma trận A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \ldots & n & n+1 \\ 3 & 4 & 5 & \ldots & n+1 & n+2 \\ 4 & 5 & 6 & \ldots & n+2 & n+3 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ n-1 & n & n+1 & \ldots & 2n-3 & 2n-2 \\ n & n+1 & n+2 & \ldots & 2n-2 & 2n \end{bmatrix}$ .

Giải: Ta có biến đổi ma trận: $\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \ldots & n & n+1 \\ 3 & 4 & 5 & \ldots & n+1 & n+2 \\ 4 & 5 & 6 & \ldots & n+2 & n+3 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ n-1 & n & n+1 & \ldots & 2n-3 & 2n-2 \\ n & n+1 & n+2 & \ldots & 2n-2 & 2n \end{bmatrix}\end{align*} \end{align*}$

Vậy $r(A) = 4$ .

Câu 7: Tìm hạng của ma trận A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & 3 & 1 & 5 \\ -1 & 3 & -2 & 1 & -10 \end{bmatrix}$ .

Giải: Ta có: $\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & 3 & 1 & 5 \\ -1 & 3 & -2 & 1 & -10 \end{bmatrix} \end{align*} \end{align*}$

Vậy $r(A) = 4$ .

Câu 8: Tìm hạng của ma trận A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & \ldots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \ldots & n & n+1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ n-1 & n & \ldots & 2n-2 & 2n \\ n & n+1 & \ldots & 2n-2 & 2n \end{bmatrix}$ .

Giải: Ta có biến đổi ma trận: $\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & \ldots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \ldots & n & n+1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ n-1 & n & \ldots & 2n-2 & 2n \\ n & n+1 & \ldots & 2n-2 & 2n \end{bmatrix}\end{align*} \end{align*}$

Vậy $r(A) = n$ .

BÀI TẬP ÁP DỤNG TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN CHO TRƯỚC

Tìm hạng của các ma trận sau:

a) A = $\begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ .

b) A = $\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & 4 \\ 3 & -4 & 2 & -1 \\ -1 & 7 & -2 & -5 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \end{bmatrix}$ .

c) A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n-1 & n \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{bmatrix}$ .

d) A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & \ldots & n-1 & n \\ n+1 & n+2 & \ldots & n+n-1 & 2n \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ n-1 & n & \ldots & 2n-2 & 2n \\ n & n+1 & \ldots & 2n-2 & 2n \end{bmatrix}$ .

Kết luận

Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về hạng của ma trận, cách tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi Gauss và phương pháp định thức bao quanh. Hạng của ma trận là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Bài tập áp dụng đã giúp chúng ta nắm vững cách tìm hạng của ma trận qua các ví dụ cụ thể.

Xem tài liệu

Tìm hiểu về hạng của ma trận

Ví dụ và bài tập áp dụng