Xem tài liệu

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng:

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_1 = 0
a_{12}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = 0
...
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = 0

Với ma trận A và vector X được định nghĩa như sau:

A = [a_{11} a_{12} ... a_{1n}; 
     a_{21} a_{22} ... a_{2n}; 
     ... 
     a_{m1} a_{m2} ... a_{mn}]

X = [x_1; x_2; ...; x_n]

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng ma trận AX=O.

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng vector x_1A_1^c + x_2A_2^c + ... + x_nA_n^c = O.

Hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận hệ số mở rộng của hệ thuần nhất bằng nhau, do đó nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm x_1=x_2=...=x_n=0, nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.

Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn số ẩn luôn có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.

Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm thường (nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.

Ví dụ 1: Tìm a để hệ phương trình

(a + 5)x + 3y + (2a + 1)z = 0
ax + (a - 1)y + 4z = 0
(a + 5)x + (a + 2)y + 5z = 0

có nghiệm không tầm thường.

Giải: Ta có yêu cầu bài toán tương đương với

| a + 5   3    2a + 1 |
|   a    a - 1    4   | = 0
| a + 5   a + 2    5   |

Một nghiệm của hệ này là a = 0 và a = -1.

Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình

x_1 - mx_2 + x_3 - (m + 3)x_4 = 0
2x_1 + x_2 - 4x_3 + 7x_4 = 0
mx_1 + 4x_2 + 2x_3 - mx_4 = 0
x_1 - x_2 - mx_3 - 2(m^2 + 1)x_4 = 0

có nghiệm không tầm thường.

Giải: Ta có yêu cầu bài toán tương đương với

left| {
  begin{array}{cccc}
   m - 1 & m - 7 & m + 5 \\
   m + 2 & m - 2 & m + 3 \\
   m + 3 & m - 4 & m + 1 \\
  end{array}
} right| = -8m^4 - 14m^3 - 58m^2 - 52m

Vậy m = 0 hoặc m = -1.

Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

{2x_1 + 3x_2 - 2x_3 = (m + 1)x_1 - (4 - m)x_2 + (m + 3)x_3
 x_1 + x_2 + 2x_3 = (m + 3)x_1 + (m - 1)x_2 + (m + 2)x_3
 -x_1 + 2x_2 - x_3 = (m + 2)x_1 - (2 - m)x_2 + mx_3

Giải: Ta có yêu cầu bài toán tương đương với

left| {
  begin{array}{cccc}
   m - 1 & m - 7 & m + 5 \\
   m + 2 & m - 2 & m + 3 \\
   m + 3 & m - 4 & m + 1 \\
  end{array}
} right| \ne 0 Leftrightarrow 6 - 24m \ne 0 Leftrightarrow m \ne \frac{1}{4}.

Cấu trúc tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Tập ker (A) = {X = [x_1; x_2; ...; x_n] \in \mathbb{R}^n | AX = O} là một không gian con của không gian vector R^n và được gọi là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất AX=O hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất.

Mỗi cơ sở của ker (A) được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.

Số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất dim(ker (A))=n-r(A).

Vậy r(A)=r thì hệ thuần nhất có vô số nghiệm phụ thuộc n-r tham số.

(a_{11})x_1 + (a_{12})x_2 + ... + (a_{1n})x_1 = 0
(a_{12})x_1 + (a_{22})x_2 + ... + (a_{2n})x_n = 0
...
(a_{n1})x_1 + (a_{n2})x_2 + ... + (a_{nn})x_n = 0

| a_{11}   a_{12}   ...   a_{1n} |
| a_{21}   a_{22}   ...   a_{2n} | = 0
| ...      ...      ...   ...    |
| a_{n1}   a_{n2}   ...   a_{nn} |

left| {
  begin{array}{cccc}
  a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
  a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
  ...    & ...    & ... & ...    \\
  a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\
  end{array}
} right| = left| {
  begin{array}{cccc}
  a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
  0      & a_{22} & ... & a_{2n} \\
  ...    & ...    & ... & ...    \\
  0      & a_{n2} & ... & a_{nn} \\
  end{array}
} right|(-a_{11},a_{12},...,a_{1n})