Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn và ví dụ minh họa
Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số là gì
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).
- Hàm số y = f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu:
forall X{1},X{2}in K,X{1}
- Hàm số y = f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu:
forall X{1},X{2}in K,X{1}
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
Lưu ý khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn
Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn, cần phải tìm điều kiện xác định của hàm số dưới căn thức và áp dụng một lần nữa ở bước cuối.
Phương pháp dùng để xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn gồm có các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định (xét sao cho phần trong căn lớn hơn 0).
Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x) của căn thức.
Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị làm hàm số không xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Bước 5: Kết luận.
Ví dụ:
Bài tập 1: Tìm khoảng đồng biến của hàm số sau y = sqrt{x^{2}-2x}.
A. (-∞;0) B. (0;2) C. (0;+∞) D. (2;+∞)
=> CHỌN D
Bài giải:
Ta có tập xác định của hàm số đã cho là x^{2}-2xgeq 0Leftrightarrow [begin{matrix}xleq 0\xgeq 2end{matrix}. Tập xác định: D = (-∞;0]∪[2;+∞).
Lại có y'=0Leftrightarrow frac{x-1}{sqrt{x^{2}-2x}}=0Leftrightarrow x-1=0Leftrightarrow x=1
Có bảng biến thiên:
Bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức
Từ đó, ta thấy hàm số đồng biến trên (2;+∞).
Bài tập 2: Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = frac{x+2}{sqrt{x^{2}-x+3}}.
A. (1;+infty ) B. (frac{8}{5};+infty ) C. (-infty ;frac{8}{5}) D. (-infty ;2)
=> CHỌN C
Bài giải:
Tập xác định của hàm số khi x^{2}-x+3>0 đúng forall xin R
Vậy tập xác định D = R
Ta có: y'=frac{sqrt{x^{2}-x+3}-frac{(2x-1)(x+2)}{2sqrt{x^{2}-x+3}}}{x^{2}-x+3}
Có y'=0Leftrightarrow frac{-5x+8}{2sqrt{(x^{2}-x+3)}^{3}}=0Leftrightarrow -5x+8=frac{8}{5}
Ta có bảng biến thiên:
Giải bài toán xét tính đơn điệu của hàm số ở căng thức
Suy ra hàm số đồng biến trên (2;+∞).
Bài tập 3:
Hàm số y = sqrt{x^{2}-1} nghịch biến trên khoảng nào?
A. (0;1).
B. (-∞;1).
C. (1;2).
D. (1;+∞).
=> CHỌN C
Ta có tập xác định D = (-∞ ;-1]∪[1;+∞).
Có y'=frac{x}{sqrt{x^{2}-1}};forall xin (-∞ ;1)cup (1;+∞ ).
Ta có bảng biến thiên:
Giải bài tập xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞).
Bài tập 4: Hỏi hàm số y = sqrt{x^{2}-4x+3} đồng biến trên khoảng nào?
A. (2;+∞)
B. (-∞;3)
C. (-∞;1)
D. (3;+∞)
=> CHỌN D
Ta có tập xác định D = [-∞ ;1)∪ [3;+∞ ).
Lại có y'= x-2x2-4x+3;x(-;1)(1;+)
y' > 0 x-2x2-4x+3>0x>2
Kết hợp tập xác định của hàm số, suy ra khoảng đồng biến của hàm số là (3;+∞)
Bài tập 5: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. (-∞ ;-1) và (1;frac{3}{2})
B. (frac{3}{2};+∞ )
C. (1;frac{3}{2})
D. (-∞ ;-1)
=> CHỌN D
Tập xác định của hàm số khi x^{2}-1>0 đúng forall xin R
Vậy tập xác định D = R
Có y'=frac{sqrt{x^{2}-1}-frac{x^{2}}{sqrt{x^{2}-1}}}{x^{2}-1(x-2)^{2}};forall xin (-∞ ;1)cup (1;+∞ )
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ ;1).
Bài tập 6: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = frac{sqrt{x^{2}-1}}{x-2}?
A. (1;2) và (2;+∞ )
B. (2;+∞ )
C. (-∞ ;frac{1}{2})
D. (frac{1}{2};+∞ )
=> CHỌN C
Ta có tập xác định D = (-∞ ;-1]∪ [1;+∞ )
Có y'=frac{frac{x(x-2)}{sqrt{x^{2}-1}}}{(x-2)^{2}}=frac{-2x+1}{sqrt{x^{2}-1(x-2)^{2}}};forall xin (-∞ ;1) cup (1;+∞ )
y' < 0 Leftrightarrow frac{-2x+1}{sqrt{x^{2}-1(x-2)^{2}}}<0Leftrightarrow -2x+1<0Leftrightarrow x>frac{1}{2}
Kết hợp với điều kiện ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng (1;2) và (2;+∞ )
