Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ Nhất & Bài Tập

Trong chương trình toán 12, nguyên hàm đóng vai trò quan trọng trong việc học về hàm số. Kiến thức về nguyên hàm cũng xuất hiện rất nhiều trong các đề thi THPT Quốc gia gần đây. Tuy nhiên, đây là một phần kiến thức rộng lớn và thử thách đối với các bạn học sinh lớp 12. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu và chinh phục các công thức nguyên hàm để giải các bài tập dễ dàng hơn nhé!

1. Lý thuyết nguyên hàm

1.1. Định nghĩa nguyên hàm là gì?

Trong chương trình toán giải tích Toán 12, nguyên hàm được định nghĩa như sau:

Một nguyên hàm của một hàm số thực cho trước f là một F có đạo hàm bằng f, tức là $F’=f$. Cụ thể:

Cho hàm số f xác định trên K. Nguyên hàm của hàm số f trên K tồn tại khi $F(x)$ tồn tại trên K và $F’(x)=f(x)$ (với x thuộc K).

Ví dụ, hàm số $f(x)=cosx$ có nguyên hàm là $F(x)=sinx$ vì $(sinx)’=cosx$ (tức $F’(x)=f(x)$).

1.2. Tính chất của nguyên hàm

Xét hai hàm số liên tục g và f trên K:

• $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$
• $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ (với mọi số thực k khác 0)

Ví dụ minh họa:

$\int sin^{2}xdx=\int \frac{1-cos2x}{2}dx=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int cos2xdx=\frac{x}{2}-\frac{sin2x}{4}+C$

2. Tổng hợp đầy đủ các công thức nguyên hàm dành cho học sinh lớp 12

2.1. Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

2.2. Bảng công thức nguyên hàm nâng cao

2.3. Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

3. Bảng công thức nguyên hàm lượng giác

4. Các phương pháp tính nguyên hàm nhanh nhất và bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Để dễ dàng hơn trong việc thuộc các công thức nguyên hàm, các bạn học sinh cần chăm chỉ giải các bài tập áp dụng các phương pháp và công thức nguyên hàm tương ứng. VUIHOC sẽ hướng dẫn các bạn 4 phương pháp tìm nguyên hàm.

4.1. Công thức nguyên hàm từng phần

Để giải các bài tập áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, trước tiên học sinh cần nắm được định lý sau:

$\int u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)-\int u(x).v'(x)dx$

Với công thức này, chúng ta có thể giải các bài toán tìm nguyên hàm từng phần. Ví dụ minh họa: Tìm nguyên hàm của hàm số $\int xsinxdx$

4.2. Phương pháp tính nguyên hàm hàm số lượng giác

Trong phương pháp này, có một số dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp trong các bài tập và đề thi. Cùng VUIHOC điểm qua một số cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác điển hình nhé!

Dạng 1: $I=\int \frac{dx}{sin(x+a)sin(x+b)}$

Phương pháp tính: Dùng đồng nhất thức: $I=\int \frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)]}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}$

Từ đó suy ra: $I=\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[\frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)}\right]dx$

$I=\frac{1}{sin(a-b)}\left[ln(sin(x+b))-ln(sin(x+a))\right]+C$

Dạng 2: $I=\int tan(x+a)tan(x+b)dx$

Phương pháp tính:

Dạng 3: $I=\int \frac{dx}{asin(x)+bcos(x)}$

Phương pháp tính:

Dạng 4: $I=\int \frac{dx}{asin(x)+bcos(x)+c}$

Phương pháp tính:

4.3. Cách tính nguyên hàm của hàm số mũ

Để giải các bài tập tìm nguyên hàm của hàm số mũ, học sinh cần nắm vững bảng nguyên hàm của các hàm số mũ cơ bản sau đây:

4.4. Phương pháp nguyên hàm đặt ẩn phụ (đổi biến số)

Phương pháp đổi biến số có hai dạng dựa trên định lý sau đây:

• Nếu $\int f(x)dx=F(x)+C$ và $u=\varphi(x)$ là hàm số có đạo hàm thì $\int f(u)du=F(u) + C$
• Nếu hàm số f(x) liên tục, khi đặt $x=\varphi(t)$ trong đó $\varphi(t)$ cùng với đạo hàm của nó $\varphi'(t)$ là những hàm số liên tục, ta có: $\int f(x)=\int f(\varphi(t)).\varphi'(t)dt$

Phương pháp đổi biến số này giúp chúng ta giải các bài toán về nguyên hàm một cách hiệu quả. Có hai dạng của phương pháp nguyên hàm đặt ẩn phụ như sau:

Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tìm nguyên hàm $I=\int f(x)dx$

Phương pháp:

1. Chọn $x=\varphi(t)$, trong đó $\varphi(t)$ là hàm số mà chúng ta chọn sao cho thuận tiện.
2. Tính vi phân 2 vế: $dx=\varphi'(t)dt$
3. Biểu thị $f(x)dx$ theo t và dt: $f(x)dx=f(\varphi(x)).\varphi'(x)dt=g(t)dt$
4. Khi đó $I=\int g(t)dt=G(t)+C$

Ví dụ minh họa:

Tìm nguyên hàm của $I=\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}}$

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tìm nguyên hàm $I=\int f(x)dx$

Phương pháp:

1. Chọn $t=\psi(x)$, trong đó $\psi(x)$ là hàm số mà chúng ta chọn sao cho thuận tiện.
2. Tính vi phân 2 vế: $dt=\psi'(x)dx$
3. Biểu thị $f(x)dx$ theo t và dt: $f(x)dx=f[\psi(x)].\psi'(x)dt=g(t)dt$
4. Khi đó $I=\int g(t)dt=G(t)+C$

Ví dụ minh họa:

Tìm nguyên hàm $I=\int x^{3}(2-3x^{2})^{8}dx$

Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản và tổng hợp đầy đủ công thức nguyên hàm cần nhớ. Hy vọng rằng sau bài viết này, các bạn học sinh sẽ có thể áp dụng công thức để giải các bài tập nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao. Để học và ôn tập nhiều hơn các phần công thức Toán 12 phục vụ ôn thi THPT Quốc gia, hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!