Hệ phương trình đặc biệt thường gây khó khăn cho học sinh trong quá trình học và ôn tập. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu các phương pháp giải cụ thể cho mỗi dạng hệ phương trình đặc biệt để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải và làm bài tập.
Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt (cực hay, chi tiết)
Lý thuyết & Phương pháp giải
DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp thế.
- Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
- Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
- Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Phương pháp giải: a. Hệ đối xứng loại 1:
- Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng.
- Đặt S = x + y, P = xy.
- Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P.
- Giải hệ (I') ta tìm được S và P.
- Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X^2 - SX + P = 0.
b. Hệ đối xứng loại 2:
- Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng.
- Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔.
- Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x-y).g(x,y) = 0 ⇔.
- Như vậy (II) ⇔.
- Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II).
c. Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x0; y0) thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của nó.
DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
Phương pháp giải:
- Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng.
- Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
- Khi x ≠ 0, đặt y = tx. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).
Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải hệ phương trình
Lời giải: a. Đặt S = x + y, P = xy (S^2 - 4P ≥ 0). Ta có: ⇒ S^2 - 2(5-S) = 5 ⇒ S^2 + 2S - 15 = 0 ⇒ S = -5; S = 3 S = -5⇒ P = 10 (loại) S = 3⇒ P = 2(nhận) Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X^2 - 3X + 2 = 0 ⇔ X = 1; X = 2 Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2)
b. ĐKXĐ: x ≠ 0 Hệ phương trình tương đương với Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 1) và (2; -3/2)
Bài 2: Giải hệ phương trình
Lời giải: a. Hệ phương trình tương đương Với x-y = 4 ⇒ x = y + 4 ⇒ y(y+4) + y + 4 - y = -1 ⇔ y^2 + 4y + 5 = 0 (vn) Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = {(0; 1), (-1; 0)}
b. Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ:
- Với S = 2 + √2; P = 2√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:
- Với S = -4-√2; P = 6 + 4√2 ta có x, y là nghiệm phương trình: X^2 + (4+√2)X + 6 + 4√2 = 0 (vô nghiệm) Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; √2) và (√2; 2)
Bài 3: Giải hệ phương trình
Lời giải: a. Hệ phương trình tương đương Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = {(0;0), (2;2)}
b. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được: (x^2 - y^2 = x^3 - y^3 - 3(x^2 - y^2) + 2(x-y) ⇔ (x-y)(x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 2) = 0 ⇔ 1/2(x-y)[x^2 + y^2 + (x + y - 2)^2] = 0 ⇔ x = y) (vì x^2 + y^2 + (x+y-2)^2 > 0) Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x^3 - 4x^2 + 2x = 0 ⇔ x(x^2 - 4x + 2) = 0 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0); (2+√2; 2+√2) và (2-√2; 2-√2)
Bài 4: Giải hệ phương trình
Lời giải: a. Ta có : x^3 - 3x = y^3 - 3y ⇔ (x-y)(x^2 + xy + y^2) - 3(x-y) = 0 ⇔ (x-y)(x^2 + xy + y^2 - 3) = 0 Khi x = y thì hệ có nghiệm Khi x^2 + xy + y^2 - 3 = 0 ⇔ x^2 + y^2 = 3 - xy, ta có x^6 + y^6 = 27 ⇔ (x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4) = 27 ⇒ (3-xy)[(3-xy)^2 - 3x^2y^2] = 27 ⇔ 3(xy)^3 + 27xy = 0 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm
b. Hệ phương trình tương đương Với x^2 + y^2 - 2xy = m + 1 - 2m ⇔ (x+y)^2 - (x+y) + m - 1 = 0 Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 - 4(m-1) ≥ 0 ⇔ 5 - 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5/4 Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y)^2 = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1 Do đó -1 ≤ m ≤ 5/4
Bài 5: Giải hệ phương trình
Lời giải: a. Ta có Nếu x = 0 thay vào (1)⇒ y = 0, thay vào (2) thấy (x; y) = (0; 0) là nghiệm của phương trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình Nếu x ≠ 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được Với t = 1/2 thay vào () ta được 4x^2 + x^2 + 6x = 27 ⇔ 5x^2 + 6x - 27 = 0 Với t = 1/3 thay vào () ta được 4x^2 + (2/3)x^2 + 6x = 27 ⇔ 14x^2 + 18x - 81 = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:
b. Dễ thấy x = 0 không thoả hệ Với x ≠ 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được Suy ra 3(t^2 - t + 1) = 2t^2 - 3t + 4 ⇒ t = ±1 Thay vào (*) thì Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1/√3;(-1)/√3), ((-1)/√3;1/√3), (-1;-1) và (1;1)
Bài 6: Cho hệ phương trình. Tìm giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm (x; y) và tích x.y nhỏ nhất.
Lời giải: Đặt S = x + y, P = xy (S^2 - 4P ≥ 0) Ta có Vậy giá trị thích hợp của tham số a là -1 (nhận)
Bài 7: Xác định m để hệ phương trình có nghiệm
Lời giải: Hệ phương trình tương đương Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 - 4(m-1) ≥ 0 ⇔ 5 - 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5/4 Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y)^2 = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1 Do đó -1 ≤ m ≤ 5/4
Đây là một số dạng hệ phương trình đặc biệt và cách giải cụ thể cho từng dạng. Hy vọng bài viết sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải và làm bài tập. Nếu muốn tìm hiểu thêm về các dạng bài tập Toán lớp 10, bạn có thể xem thêm tại các nguồn tài liệu uy tín. Chúc bạn học tốt!
