Công thức tính delta và delta phẩy trong phương trình bậc 2 là một kiến thức quan trọng được học trong chương trình Toán lớp 9. Đây cũng là phần nội dung không thể thiếu trong các bài thi và bài kiểm tra Toán 9. Tìm hiểu cách tính delta và delta phẩy không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán cơ bản mà còn là nền tảng cho các bài toán nâng cao của môn Toán. Dưới đây là chi tiết về công thức tính delta, delta phẩy và các dạng bài tập.
1. Định nghĩa về Delta trong toán học
- Delta là một chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp, được kí hiệu là Δ (đối với chữ hoa) và δ (đối với chữ thường).
- Trong toán học, đặc biệt là Toán 9, ký hiệu Δ chỉ một biệt thức trong phương trình bậc hai mà dựa vào từng giá trị của delta ta có thể kết luận được số nghiệm của phương trình bậc hai.
- Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Nếu Δ = 0, phương trình có một nghiệm kép.
- Nếu Δ < 0, phương trình không có nghiệm thực.
- Ngoài ra delta còn dùng để kí hiệu cho đường thẳng mà các bạn sẽ được học ở các lớp cao hơn.
- Tóm lại, "Delta" trong toán học có thể đề cập đến ký hiệu chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp hoặc có ý nghĩa đặc biệt trong việc giải phương trình bậc hai và đại diện cho đường thẳng trong các lớp toán cao hơn.
2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
- Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax^2 + bx + c = 0
- Trong đó a ≠ 0, a, b là hệ số, c là hằng số.
3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
- Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:
- Tính: ∆ = b^2 - 4ac
- Nếu ∆ > 0 thì phương trình ax^2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt: x1 = (-b + √∆) / (2a); x2 = (-b - √∆) / (2a)
- Nếu ∆ = 0 thì phương trình ax^2 + bx + c = 0 có nghiệm kép: x1 = x2 = -b / (2a)
- Nếu ∆ < 0 thì phương trình ax^2 + bx + c = 0 vô nghiệm.
- Tính : ∆' = b'^2 - ac trong đó b' = b / 2 ( được gọi là công thức nghiệm thu gọn)
- Nếu ∆' > 0 thì phương trình ax^2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt: x1 = (-b' + √∆') / a; x2 = (-b - √∆') / a
- Nếu ∆' = 0 thì phương trình ax^2 + bx + c = 0 có nghiệm kép: x1 = x2 = -b' / a
- Nếu ∆' < 0 thì phương trình ax^2 + bx + c = 0 vô nghiệm.
- Tính: ∆ = b^2 - 4ac
4. Tại sao phải tìm ∆?
- Ta xét phương trình bậc 2: ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ a(x^2 + (b/a)x) + c = 0 (rút hệ số a làm nhân tử chung) ⇔ a[x^2 + 2.(b/2a).x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2]+ c = 0 (thêm bớt các hệ số để xuất hiện hằng đẳng thức) ⇔ a[(x + (b/2a))^2 - (b/2a)^2] + c = 0 (biến đổi hằng đẳng thức) ⇔ a[(x + (b/2a))^2] = (b^2 - 4ac) (1) (chuyển vế)
Vế phải của phương trình (1) chính là ∆ mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Vì 4a^2 > 0 với mọi a ≠ 0 và (x + (b/2a))^2 ≥ 0 nên vế trái luôn dương. Do đó chúng ta mới phải biện luận nghiệm của b^2 - 4ac.
Biện luận nghiệm của biểu thức
- Với b^2 - 4ac < 0, vì vế trái của phương trình (1) lớn hơn bằng 0, vế phải của phương trình (1) nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.
- Với b^2 - 4ac = 0, phương trình trên trở thành: a(x + b / 2a)^2 = 0 (2)
- Với b^2 - 4ac > 0, phương trình trên trở thành: (x + (b / 2a))^2 = (b^2 - 4ac) / 4a ⇔ x + (b / 2a) = ± √((b^2 - 4ac) / 4a) ⇔ x + (b / 2a) = ± √(b^2 - 4ac) / (2a) ⇔ x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhận thấy rằng ∆ là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt ∆ = b^2 - 4ac nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.
5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2
Phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Trường hợp nghiệm Công thức nghiệm ∆ = b^2 - 4ac Công thức nghiệm thu gọn (áp dụng khi hệ số b chẵn) ∆ = b'^2 - ac và b' = b / 2 Phương trình vô nghiệm ∆ < 0 và ∆' < 0 Phương trình có nghiệm kép ∆ = 0 và ∆' = 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ > 0 và ∆' > 0
6. Một số ví dụ giải phương trình bậc hai
Giải các phương trình sau: a) 2x^2 - 4 = 0 b) x^2 + 4x = 0 c) x^2 - 5x + 4 = 0
Bài 1: Giải các phương trình dưới đây: a, x^2 - 5x + 4 = 0. b, 6x^2 + x + 5 = 0. c, 16x^2 - 40x + 25 = 0. d, x^2 - 10x + 21 = 0. e, x^2 - 2x - 8 = 0. f, 4x^2 - 5x + 1 = 0. g, x^2 + 3x + 16 = 0. h, 2x^2 + 2x + 1 = 0.
