Tích phân là một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực giải tích và được sử dụng nhiều trong toán học. Được hiểu đơn giản, tích phân là tổng của nhiều phần nhỏ. Tích phân được định nghĩa như sau: Cho hàm f(x) liên tục trên một khoảng xác định và a, b là hai số thực bất kỳ thuộc khoảng đó. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x), thì hiệu số của F(b) và F(a) được gọi là tích phân của f(x) trong khoảng (a, b). Ký hiệu cho tích phân từ a đến b của f(x) là:
Để tính tích phân, chúng ta cần nắm vững các tính chất của tích phân xác định. Một số tính chất thường gặp của tích phân là:
1. Tính chất của tích phân xác định
(1) Tích phân tại một giá trị xác định của biến số bằng 0:
(2) Đảo cận thì đổi dấu:
(3) Hằng số trong tích phân có thể được đưa ra ngoài dấu tích phân:
(4) Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân:
(5) Tác đôi tích phân:
(6) So sánh giá trị của tích phân:
- Nếu f(x) >= 0 trên đoạn [a, b], thì tích phân cũng >= 0.
- Nếu f(x) >= g(x) trên đoạn [a, b], thì tích phân của f(x) cũng >= tích phân của g(x).
- Nếu m <= f(x) <= M trên đoạn [a, b], thì m(b-a) <= tích phân của f(x) <= M(b-a).
Để tính tích phân, chúng ta cần nắm vững các phương pháp giải dạng bài tập tích phân sau:
2. Phương pháp giải dạng bài tập tích phân
2.1. Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng khi u(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên [a, b]. Công thức tính tích phân từng phần như sau:
2.2. Giải bài tập tích phân bằng cách phân tích
Phương pháp này được sử dụng để biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng của các hạng tử. Ví dụ:
2.3. Phương pháp tích phân đổi biến số
Phương pháp này có 2 dạng và mỗi dạng có cách tính khác nhau.
Dạng 1: Để tính tích phân I = 
, ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Chọn biến số:
- Phân tích
- Đặt u = u(x)
Bước 2: Thực hiện phép đổi cận:
- Với x = a, ta có u = u(a)
- Với x = b, ta có u = u(b)
Bước 3: Kết quả:
Dạng 2: Để tính tích phân I = 
, có hàm số f(x) liên tục trên [a, b], ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Chọn x = , trong đó nằm trong tập xác định của f.
Bước 2: Giả sử liên tục, lấy vi phân dx = dx =
Bước 3: Có 2 cách để tính tích phân:
-
Cách 1: Tính các cận
và tương ứng với a và b (điều kiện 
và ), khi đó ta được: -
Cách 2: Tính theo cách xác định nguyên hàm để tìm ra giá trị của tích phân xác định.
2.4. Phương pháp vi phân
Vi phân của một hàm số y = f(x) được ký hiệu là dy và cho bởi dy = df(x) = y'dx = f'(x)dx. Một số công thức vi phân quan trọng cần phải nhớ:
(1) dx = 
(2) xdx =
(3)
(4) 
