Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10: Định nghĩa, cách giải và ví dụ

Chào mừng các bạn đến với chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10! Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ tìm hiểu về hệ phương trình, cách giải và đưa ra một số ví dụ minh họa. Tài liệu này được VnDoc tổng hợp và đăng tải nhằm giúp các bạn ôn lại kiến thức về hệ phương trình và nâng cao kỹ năng giải bài tập. Cùng khám phá nội dung chi tiết dưới đây!

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

Định nghĩa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

• Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c, trong đó a, b, a', b' không đồng thời bằng 0.
• Nếu giá trị của vế trái tại x = x0; y = y0 và vế phải bằng nhau thì (x0; y0) được gọi là một nghiệm của phương trình (I).
• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của hệ (I) được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x0; y0) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x0; y0).

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn số

Với a', b', c' khác 0:

• Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi a/a' = b/b' ≠ c/c'.
• Hệ (I) vô nghiệm khi a/a' = b/b' ≠ c/c'.
• Hệ (I) có vô số nghiệm khi a/a' = b/b' = c/c'.

Một số dạng bài tập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa về dạng cơ bản

a. Phương pháp thế

• Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho thành một hệ mới trong đó có phương trình một ẩn.
• Giải phương trình một ẩn này rồi suy ra nghiệm của hệ.

b. Phương pháp cộng đại số

• Nhân hai vế của mỗi phương trình với một thừa số phụ sao cho giá trị tuyệt đối của hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau.
• Dùng quy tắc cộng đại số để được một hệ mới trong đó có một phương trình một ẩn.
• Giải phương trình một ẩn này rồi suy ra nghiệm của hệ.

c. Một số ví dụ về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số

• Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

  
  3x - 2y = 4
  2x + y = 5

⇒ 3x - 2(5 - 2x) = 4 y = 5 - 2x

⇒ 3x - 10 + 4x = 4 y = 5 - 2x

⇒ 7x = 14 y = 5 - 2.2

⇒ x = 2 y = 5 - 4

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)

- Bài 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

3x - 2y = 4 2x + y = 5

⇒ 3x - 2y = 4 4x + 2y = 10

⇒ 7x = 14 2x + y = 5

⇒ x = 2 2.2 + y = 5

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)

### Dạng 2: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ

#### a. Cách giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

- Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa.
- Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ.
- Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số).
- Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

#### b. Ví dụ về bài toán giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

- Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

2/(x + 2y) + 1/(y + 2x) = 3 4/(x + 2y) - 3/(y + 2x) = 1

Lời giải: Điều kiện: x + 2y ≠ 0, y + 2x ≠ 0

Đặt a = 1/(x + 2y), b = 1/(y + 2x) Hệ phương trình đã cho trở thành: 2a + b = 3 4a - 3b = 1

⇒ 6a + 3b = 9 4a - 3b = 1

⇒ 10a = 10 4a - 3b = 1

⇒ a = 1 b = 1

Với a = 1 ⇒ 1/(x + 2y) = 1 ⇒ x + 2y = 1 (1) Với b = 1 ⇒ 1/(y + 2x) = 1 ⇒ y + 2x = 1 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ x = 1 và y = 1 (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2√(x - 1) - √(y - 1) = 1 √(x - 1) + √(y - 1) = 2

Lời giải: Điều kiện: x - 1 ≥ 0, y - 1 ≥ 0

Đặt a = √(x - 1), b = √(y - 1) Hệ phương trình đã cho trở thành: 2a - b = 1 a + b = 2

⇒ 2a - (2 - a) = 1 a + b = 2

⇒ 3a = 3 a + b = 2

⇒ a = 1 b = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)

### Dạng 3: Giải và biện luận hệ phương trình

#### a. Phương pháp giải:

- Tìm y theo x từ một phương trình của hệ, sau đó thế vào phương trình còn lại để được phương trình bậc nhất đối với x.
- Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: `ax = b`.
- Biện luận phương trình (1) để suy ra sự biện luận của hệ.

#### b. Ví dụ về giải và biện luận hệ phương trình

- Giải và biện luận hệ phương trình:

mx - y = 2m (1) 4x - my = m + 6 (2)

Từ (1) ⇒ y = mx - 2m, thay vào (2) ta được: 4x - m(mx - 2m) = m + 6 (m^2 - 4)x = (2m + 3)(m - 2) (3)

• Nếu m^2 - 4 ≠ 0 hay m ≠ ±2 thì x = (2m + 3)/(m + 2) Khi đó y = -m/(m + 2). Hệ có nghiệm duy nhất: (x;y) = ((2m + 3)/(m + 2); -m/(m + 2))

• Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = 2x - 4 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x - 4) với mọi x thuộc R

• Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4. Hệ vô nghiệm

Dạng 4: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

a. Phương pháp giải:

• Giải hệ phương trình theo tham số.
• Viết x, y của hệ về dạng: n + k/f(m) với n, k nguyên.
• Tìm m nguyên sao cho f(m) là ước của k.

b. Một số ví dụ về bài toán

• Ví dụ: Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

  
  mx + 2y = m + 1
  2x + my = 2m - 1

Lời giải: Điều kiện: m + 2 ≠ 0

Giả sử x - y = m - 1 - m = -1

Vậy hệ thức x - y là một hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

## Kết luận

Thông qua chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10, chúng ta đã tìm hiểu về định nghĩa, cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số. Bên cạnh đó, chúng ta cũng đã thực hành giải một số dạng bài tập để nắm vững kiến thức. Hy vọng rằng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn tập tốt và chuẩn bị tốt cho kì thi quan trọng sắp tới. Chúc các bạn ôn tập tốt và thành công trong kỳ thi!

Ngoài chuyên đề giải hệ phương trình, VnDoc còn cung cấp tài liệu học tập và đề thi học kỳ 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa,... cũng như đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Hy vọng rằng tài liệu này sẽ giúp các bạn rèn luyện kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

*Truy cập ngay: Hỏi - Đáp học tập*