Vào đầu học kì II của lớp 12, bạn sẽ được học về nguyên hàm. Tại chương này, bạn sẽ làm quen với những khái niệm và công thức nguyên hàm cơ bản. Để giải nhanh các bài tập nguyên hàm, điều quan trọng là nhớ chính xác các công thức nguyên hàm và biết cách sử dụng chúng để đạt được kết quả chính xác và nhanh chóng. Chính vì lý do đó, DienTich.Net đã tạo ra một bộ sưu tập công thức nguyên hàm toán lớp 12 và nhiều bài tập có lời giải chi tiết.
Bảng công thức nguyên hàm
Công thức cơ bản
Phần cơ bản này gồm 12 công thức nguyên hàm được sắp xếp thành bảng dưới đây:
Hình 1: Bảng công thức nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm mũ
Với nguyên hàm của hàm mũ, chúng được chia thành 2 chủ đề và có tổng cộng 8 công thức:
- Hàm mũ e
- Hàm mũ
Hình 2: Bảng công thức nguyên hàm mũ
Nguyên hàm lượng giác
Bảng công thức nguyên hàm lượng giác này bao gồm 12 công thức thường gặp:
Hình 3: Bảng công thức nguyên hàm lượng giác
Công thức nguyên hàm căn thức
Nguyên hàm của căn thức trước đây đã được coi là khó, tuy nhiên DienTich.Net đã tuyển chọn những công thức thường gặp và sắp xếp từ căn bản tới mức độ cao hơn.
Hình 4: Công thức nguyên hàm căn thức
Bài tập nguyên hàm
Bài tập có lời giải
Câu 1: Hãy tìm nguyên hàm của $int {frac{{ - {x^3} + 5x + 2}}{{4 - {x^2}}}dx} $. A.$frac{{{x^2}}}{2} - ln left| {2 - x} right| + C$. B. $frac{{{x^2}}}{2} + ln left| {2 - x} right| + C$. C. $frac{{{x^3}}}{3} - ln left| {2 - x} right| + C$. D. $frac{{{x^3}}}{3} + ln left| {x - 2} right| + C$. Lời giải: Chọn A Vì $frac{{ - {x^3} + 5x + 2}}{{4 - {x^2}}}$$ = frac{{{x^3} - 5x - 2}}{{{x^2} - 4}}$$ = frac{{left( {x + 2} right)left( {{x^2} - 2x - 1} right)}}{{left( {x + 2} right)left( {x - 2} right)}}$$ = x - frac{1}{{x - 2}}$ $ = int {left( {x - frac{1}{{x - 2}}} right){text{d}}x} = frac{{{x^2}}}{2} - ln left| {x - 2} right| + C$. $ Rightarrow int {frac{{ - {x^3} + 5x + 2}}{{4 - {x^2}}}{text{d}}x} $$ = int {left( {x - frac{1}{{x - 2}}} right){text{d}}x} $$ = frac{{{x^2}}}{2} - ln left| {x - 2} right| + C$
Câu 2: Tìm hàm số $f(x)$ biết rằng $f'(x) = ax + frac{b}{{{x^2}}}$ thỏa mãn $f’left( 1 right) = 0;{text{ }}fleft( 1 right) = 4;{text{ }}fleft( { - 1} right) = 2$. A. $fleft( x right) = frac{{{x^2}}}{2} - frac{1}{x} - frac{5}{2}$. B. $fleft( x right) = frac{{{x^2}}}{2} + frac{1}{x} + frac{5}{2}$. C. $fleft( x right) = frac{{{x^2}}}{2} - frac{1}{x} + frac{5}{2}$. D. $fleft( x right) = frac{{{x^2}}}{2} + frac{1}{x} - frac{5}{2}$. Lời giải: Chọn B Vì $f’left( 1 right) = 0 Rightarrow a + b = 0{text{ }}left( 1 right)$ Ta lại có $fleft( x right) = int {f’left( x right){text{d}}x} $$ = int {left( {ax + frac{b}{{{x^2}}}} right){text{d}}x} $$ = frac{{a{x^2}}}{2} - frac{b}{x} + C$ Vì $fleft( 1 right) = 4$$ Leftrightarrow frac{a}{2} - b + C = 4$$ Leftrightarrow a - 2b + 2C = 8{text{ }}left( 2 right)$ và $fleft( { - 1} right) = 2 Leftrightarrow frac{a}{2} + b + C = 2 Leftrightarrow a + 2b + 2C = 4{text{ }}left( 3 right)$ Giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l} a + b = 0\ a - 2b + 2C = 8\ a + 2b + 2C = 4 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = 1\ b = - 1\ c = frac{5}{2} end{array} right.$ Vậy $fleft( x right) = frac{{{x^2}}}{2} + frac{1}{x} + frac{5}{2}$
Câu 3: Giá trị $m,n$ để hàm số $Fleft( x right) = left( {2m + n} right){x^3} + left( {3m - 2n} right){x^2} - 4x$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 3{x^2} + 10x - 4$. Khi đó $8m - 2n$ là: A. 6. B. 12. C. 10. D. $ - 2$. Lời giải: Chọn C $int {left( {3{x^2} + 10x - 4} right)dx = {x^3} + 5{x^2} - 4x + C} $ Khi đó ta có $left{ begin{array}{l} 2m + n = 1\ 3m - 2n = 5\ C = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m = 1\ n = - 1\ C = 0 end{array} right.$ nên $8m - 2n = 10$.
Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac{{2{{sin }^3}x}}{{1 + cos x}}$. A. $int {f(x)dx = frac{1}{2}{{cos }^2}x - 2cos x + C} $. B. $int {f(x)dx = {{cos }^2}x - 2cos x + C} $. C. $int {f(x)dx = {{cos }^2}x + cos x} + C$. D. $int {f(x)dx = frac{1}{2}{{cos }^2}x + 2cos x + C} $. Lời giải: Chọn B $int {left( {frac{{2{{sin }^3}x}}{{1 + cos x}}} right)dx} $ $ = int {left( {frac{{2sin x.{{sin }^2}x}}{{1 + cos x}}} right)dx} $ $ = int {left( {frac{{2sin xleft( {1 - {{cos }^2}x} right)}}{{1 + cos x}}} right)} dx$ $ = 2int {sin xleft( {1 - cos x} right)dx} $ $ = int {2left( {cos x - 1} right)dleft( {cos x} right)} $$ = {cos ^2}x - 2cos x + C$
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac{{{{cos }^3}x}}{{{{sin }^5}x}}$. A. $int {f(x).dx = } frac{{ - {{cot }^4}x}}{4} + C$. B. $int {f(x).dx = } frac{{{{cot }^4}x}}{4} + C$. C. $int {f(x).dx = } frac{{{{cot }^2}x}}{2} + C$. D. $int {f(x).dx = } frac{{{{tan }^4}x}}{4} + C$. Lời giải: Chọn A $int {frac{{{{cos }^3}xdx}}{{{{sin }^5}x}}} $ $ = int {{{cot }^3}x.frac{{dx}}{{{{sin }^2}x}}} $ $ = - int {{{cot }^3}x.dleft( {cot x} right)} $ $ = frac{{ - {{cot }^4}x}}{4} + C$
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = cos 2xleft( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x} right)$. A. $int {f(x).dx = } sin 2x - frac{1}{4}{sin ^3}2x + C$ B. $int {f(x).dx = } frac{1}{2}sin 2x + frac{1}{{12}}{sin ^3}2x + C$. C. $int {f(x).dx = } frac{1}{2}sin 2x - frac{1}{{12}}{sin ^3}2x + C$. D. $int {f(x).dx = } frac{1}{2}sin 2x - frac{1}{4}{sin ^3}2x + C$. Lời giải: Chọn C $int {cos 2xleft( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x} right)dx} $ $ = int {cos 2xleft[ {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right) - 2{{sin }^2}x.{{cos }^2}x} right]dx$ $ = int {cos 2xleft( {1 - frac{1}{2}{{sin }^2}2x} right)dx} $ $ = int {cos 2xdx} - frac{1}{2}int {{{sin }^2}2x.cos 2xdx} $ $ = frac{1}{2}sin 2x - frac{1}{{12}}{sin ^3}2x + C$
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = left( {tan x + {e^{2sin x}}} right)cos x$. A. $int {f(x)dx = } - cos x + frac{1}{2}{e^{2sin x}} + C$. B. $int {f(x)dx = } cos x + frac{1}{2}{e^{2sin x}} + C$. C. $int {f(x)dx = } - cos x + {e^{2sin x}} + C$. D. $int {f(x)dx = } - cos x - frac{1}{2}{e^{2sin x}} + C$. Lời giải: Chọn A $int {left( {tan x + {e^{2sin x}}} right)cos xdx} $ $ = int {sin xdx} + int {{e^{2sin x}}dleft( {sin x} right)} $ $ = - cos x + frac{1}{2}{e^{2sin x}} + C$
Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm tự luyện
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 2{x^3} - 9.$ A. $frac{1}{2}{x^4} - 9x + C.$ B. $4{x^4} - 9x + C.$ C. $frac{1}{4}{x^4} + C.$ D. $4{x^3} + 9x + C.$ Câu 2: Nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {x^2} - frac{5}{x} + frac{3}{{{x^2}}} - frac{1}{3}$. A. $frac{{{x^3}}}{3} - 5ln left| x right| - frac{3}{x} - frac{1}{3}x + C$ B. $frac{{{x^3}}}{3} - 5ln left| x right| + frac{3}{x} - frac{1}{3}x + C$ C. $2{x^3} - 5ln left| x right| - frac{3}{x} - frac{1}{3}x + C$ D. $2x - frac{5}{{{x^2}}} + frac{{3x}}{{{x^4}}} + C$ Câu 3: Nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = frac{1}{{{x^2}}} - {x^2} - frac{1}{3}$ là: A. $ - frac{{{x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$ B. $ - frac{{{x^3}}}{3} + frac{1}{x} - frac{x}{3} + C$ C. $frac{{ - {x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$ D. $ - frac{1}{x} - frac{{{x^3}}}{3} + C$ Câu 4: Nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = sqrt[3]{x}$ A. $Fleft( x right) = frac{{3sqrt[3]{{{x^2}}}}}{4} + C$ B. $Fleft( x right) = frac{{3xsqrt[3]{x}}}{4} + C$ C. $Fleft( x right) = frac{{4x}}{{3sqrt[3]{x}}} + C$ D. $Fleft( x right) = frac{{4x}}{{3sqrt[3]{{{x^2}}}}} + C$ Câu 5: Nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = frac{1}{{xsqrt x }}$ A. $Fleft( x right) = frac{2}{{sqrt x }} + C$ B. $Fleft( x right) = - frac{2}{{sqrt x }} + C$ C. $Fleft( x right) = frac{{sqrt x }}{2} + C$ D. $Fleft( x right) = - frac{{sqrt x }}{2} + C$
Trên đây là các công thức nguyên hàm lớp 11 được biên soạn từ cơ bản tới nâng cao. Để làm tốt bài tập hay rút gọn biểu thức, hãy nhớ chính xác những công thức trong bảng trên và thường xuyên xem lại chúng. Khi bạn đã thuần thục việc nhớ và sử dụng các công thức này, việc giải bài tập sẽ trở nên đơn giản hơn. Mặc dù nguyên hàm là một chủ đề mới và phức tạp trong toán lớp 12, nhưng nếu bạn chăm chỉ học và thường xuyên ôn lại các công thức, nó sẽ dễ dàng hơn rất nhiều.
