Khái niệm tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai (đối với biến x) là biểu thức có dạng: ax^{2}+bx+c=0, trong đó a, b, c là những hệ số cho trước và a ≠ 0.
Ví dụ: f(x)=x^{2}-4x+5 là tam thức bậc hai, f(x)=x^{2}(2x-7) không là tam thức bậc hai.
Nghiệm của phương trình ax^{2}+bx+c=0 là nghiệm của tam thức bậc hai; Δ = b^{2}-4ac và Δ' = b'^{2}-ac lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai ax^{2}+bx+c=0.
Dấu của tam thức bậc hai
Định lý thuận:
- Cho tam thức bậc hai f(x)=ax^{2}+bx+c=0 với a ≠ 0 có Δ=b^{2}-4ac
- Nếu Δ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a (với mọi x ∈ R)
- Nếu Δ = 0 thì f(x) có nghiệm kép là x=-\frac{b}{2a}
- Khi đó f(x) sẽ cùng dấu với a (mọi x ≠ -\frac{b}{2a})
- Nếu Δ < 0 thì f(x) có hai nghiệm x{1} và x{2} (x{1} < x{2}); f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ (-\infty; x{1})∪(x{2}; +\infty); f(x) trái dấu với a khi x{1} < x < x{2}.
Mẹo ghi nhớ: Khi xét dấu của tam thức bậc hai mà có hai nghiệm phân biệt, bạn có thể áp dụng quy tắc "Trong trái, ngoài cùng", nghĩa là: trong khoảng hai nghiệm thì f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x) cùng dấu với a.
Định lý đảo dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai: f(x)=ax^{2}+bx+c=0 với a ≠ 0. Nếu tồn tại số α thỏa mãn điều kiện: α.f(α) < 0 thì f(x) sẽ có hai nghiệm phân biệt x{1} và x{2} (x{1} < α < x{2}).
Cách xét dấu tam thức bậc 2
Để xét dấu của một tam thức bậc hai chúng ta làm theo các bước sau: Bước 1: Tính Δ, tìm nghiệm của tam thức bậc hai (bấm máy). Bước 2: Lập bảng xét dấu dựa theo hệ số a. Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai rồi đưa ra kết luận.
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng dưới đây:
Ứng dụng dấu của tam thức bậc 2
Nhận xét: Trong cả hai trường hợp a > 0 và a < 0 thì:
- Δ > 0, f(x) có đủ cả hai loại dấu dương, âm.
- Δ ≤ 0, f(x) chỉ có một loại dấu âm hoặc dương.
Từ đó, chúng ta có các bài toán sau: Với tam thức bậc hai: ax^{2}+bx+c=0 với a ≠ 0:
- ax^{2}+bx+c > 0, \forall x \in R \Leftrightarrow \left{\begin{matrix} a > 0\ \Delta < 0 \end{matrix}\right.
- ax^{2}+bx+c ≥ 0, \forall x \in R \Leftrightarrow \left{\begin{matrix} a > 0\ \Delta ≤ 0 \end{matrix}\right.
- ax^{2}+bx+c < 0, \forall x \in R \Leftrightarrow \left{\begin{matrix} a < 0\ \Delta < 0 \end{matrix}\right.
- ax^{2}+bx+c ≤ 0, \forall x \in R \Leftrightarrow \left{\begin{matrix} a < 0\ \Delta ≤ 0 \end{matrix}\right.
Các bài tập về dấu của tam thức bậc hai lớp 10
Bài tập vận dụng và hướng dẫn giải
Bài 1: Xét dấu tam thức bậc hai sau: f(x)=3x^{2}+2x-5
Lời giải: f(x)=3x^{2}+2x-5 Ta có: Δ=27 > 0 Phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x{1}=-\frac{5}{3}, x{2}=1 Ta có bảng xét dấu: -∞ | -\frac{5}{3} | 1 | +∞ f(x) | + | 0 | -
Kết luận: f(x) < 0 khi x ∈ (-\infty; -\frac{5}{3})∪(1; +\infty) f(x) > 0 khi x ∈ (-\infty; -\frac{5}{3})∪(1; +\infty)
Bài 2: Xét dấu biểu thức sau: f(x)=\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}
Lời giải: Ta xét: x^{2}+2x+1=0 <=> x=-1 (a > 0) x^{2}-1=0 <=> x=-1 hoặc x=1 (a > 0)
Bảng xét dấu: x | -∞ | -1 | 1 | +∞ x^{2} + 2x + 1 | + | 0 | + x^{2} - 1 | + | + | +
Kết luận: f(x) > 0 khi x ∈ (-∞; -1)∪(1; +∞) f(x) < 0 khi x ∈ (-1; 1)
Bài tập tự luyện về dấu tam thức bậc 2
Bài 1: Tìm m để các bất phương trình sau đây vô nghiệm:
- 5x^{2}-x+m ≤ 0
- (m-1)x^{2}-(2m-1)x > m-3
- x^{2}-2mx+m+12 < 0
- x^{2}+3mx-9 < 0
- x^{2}+3x-9m ≤ 0
Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau đây có duy nhất một nghiệm:
- -2x^{2}-mx+m^{2}-1 ≥ 0
- (m-1)x^{2}-(2m-1)x > -m-3
- 2mx^{2}+x-3 ≥ 0
Hy vọng rằng bạn đã hiểu rõ về lý thuyết và cách xét dấu của tam thức bậc hai thông qua bài viết này. Chúc bạn thành công trong việc ứng dụng vào các bài toán tương tự và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới!
